二阶电路数学基础

二阶电路数学基础二阶常系数齐次微分方程求解步骤总结

考虑二阶常系数齐次微分方程：

d2dt2f(t)+bddtf(t)+cf(t)=0其中 b 和 c 是常数。求解步骤如下：

步骤1：假设解的形式假设解为指数形式： f(t)=Aeλt （其中 A 是常数）。为什么？ 因为指数函数的导数与自身成比例： ddteλt=λeλt ，高阶导数也类似，这方便代入微分方程后简化为代数方程。步骤2：代入方程，得到特征方程将 f(t)=eλt （不妨忽略常数 A ，因为方程是齐次的）代入原方程：d2dt2(eλt)+bddt(eλt)+ceλt=0计算导数：ddt(eλt)=λeλt,d2dt2(eλt)=λ2eλt代入并整理：λ2eλt+bλeλt+ceλt=0除以非零因子 eλt （因为 eλt≠0 ），得到特征方程：λ2+bλ+c=0步骤3：求解特征根特征方程为二次方程：λ=−b±b2−4ac2根据判别式 D=b2−4ac=b2−4c 的值，特征根分为三种情况： 两个不同的实根：当 D>0 ，根为 λ1 和 λ2 （实数和不等）。重根：当 D=0 ，根为 λ1=λ2=λ （实数和相等）。一对共轭复根：当 D<0 ，根为 α±βi ，其中实部 α=−b2 ，虚部 β=|D|2=|b2−4ac|2 。步骤4：根据特征根类型写出通解通解的形式取决于特征根的类型：

情况1：两个不同的实根（ λ1≠λ2 ）

通解： f(t)=Aeλ1t+Beλ2t为什么？ 因为微分方程是线性齐次的，叠加原理适用：两个独立的特解（eλ1t 和 eλ2t） 的线性组合构成通解。常数 A 和 B 由初始条件确定。情况2：重根（ λ1=λ2=λ ）

通解： f(t)=(A+Bt)eλt为什么？ 当根重时，只有一个独立的特解 eλt 。第二个独立的特解通过引入线性因子 t 获得：如何找到第二个解 teλt ？ 使用降阶法（Reduction of Order）： 设第二个解为 f2(t)=v(t)eλt （其中 v(t) 是待定函数）。代入原方程，并利用重根条件（ λ=−b2 和 b2−4ac=0 ），简化得 v″(t)=0(完整推导在后面)。解出 v(t)=Bt （或更一般地 v(t)=A+Bt ，但 Aeλt 已包含在第一个解中），所以第二个解为 teλt 。因此通解为线性组合： f(t)=(A+Bt)eλt 。情况3：一对共轭复根（ λ=α±iβ ）

通解：

f(t)=Pe(α+iβ)t+Qe(α−iβ)t=Peαt(cos⁡(βt)+isin⁡(βt))+Qeαt(cos⁡(βt)−isin⁡(βt))=(P+Q)eαtcos⁡(βt)+(P−Q)eαtisin⁡(βt)=Aeαtcos⁡(βt)+Beαtsin⁡(βt)=eαt(Acos⁡(βt)+Bsin⁡(βt))为什么？f(t)必须在实数域有意义，所以必须是实值函数，所以P、Q必须为共轭复数才能抵消指数项的虚数。

f(t)=Pe(α+iβ)t+Qe(α−iβ)tQ=P― ; P、Q为共轭复数,所以： P+Q=实数P−Q=纯虚数所以： A=P+Q=实数B=(P−Q)i=实数利用欧拉公式,将复指数转换为三角函数，确保解为实函数：

eit=cos⁡(t)+isin⁡(t)e(α±iβ)t=eαt(cos⁡(βt)±isin⁡(βt))线性组合后虚部抵消，得到纯实解。常数 A 和 B 由初始条件确定。等价形式：

f(t)=Reαtsin⁡(βt+ϕ) ，其中 R=A2+B2 相位 ϕ=tan−1⁡AB。f(t)=Reαtcos⁡(βt+ϕ) ，其中 R=A2+B2 相位 ϕ=tan−1⁡BA。情况3特殊子情况：零阻尼（无阻尼振动）

当 b=0 时（即无阻尼），特征根为纯虚数： λ=α±iβ=±iβ （其中 α=−b2=0 ）。通解：f(t)=eαt(Acos⁡(βt)+Bsin⁡(βt))=e0t(Acos⁡(βt)+Bsin⁡(βt))=1(Acos⁡(βt)+Bsin⁡(βt))=Acos⁡(βt)+Bsin⁡(βt)或者f(t)=Rcos⁡(βt+ϕ)表示无衰减的简谐振荡。解的物理意义解释（以机械振动或电路系统为例）二阶常系数齐次微分方程常见于物理系统，如弹簧-质量-阻尼系统或RLC电路（电压或电流的方程）。方程的项分别对应：

d2dt2f(t) ： 惯性或电感效应（加速度相关）。bddtf(t) ： 阻尼或电阻效应（速度相关）。cf(t) ： 弹性或电容效应（位置相关）。根的类型对应系统的不同阻尼状态：

两个不同的实根（过阻尼，例如 RLC 过阻尼或高阻尼机械系统）：

通解形式： f(t)=Aeλ1t+Beλ2t ，其中 λ1 和 λ2 均为负实数（衰减）。为什么是线性组合？ 物理上，系统有两个独立的指数衰减模式（例如，电容和电感的能量以不同速率释放）。通解是这两个模式的叠加，因为系统的行为可分解为两个一阶衰减（如 "RC 衰减" 和 "RL 衰减" 的耦合）。每个指数项对应一个衰减通道。物理意义： 系统平滑地返回平衡点，无振荡。例如： RLC 过阻尼响应：电流或电压缓慢衰减（无振荡）。机械系统：重物缓慢返回静止位置（如门闭门器过阻尼时）。数学原因： 特征根不同，解空间维数为 2，两个特解 eλ1t 和 eλ2t 线性无关，构成基。重根（临界阻尼，例如 RLC 临界阻尼或理想阻尼机械系统）：

通解形式： f(t)=(A+Bt)eλt 。为什么有线性因子 t ？ 在临界阻尼时，两个根重合，衰减速率相同，系统无法分离为两个独立模式。线性因子 t 引入"记忆"效应，表示系统在平衡点附近有轻微"过冲"但无振荡。物理意义： 系统以最快速度返回平衡点而不振荡。例如： RLC 临界阻尼响应：电流或电压快速衰减到零（无振荡）。机械系统：质量以最小时间返回静止位置（如汽车悬架临界调校）。数学原因： 降阶法显示，当特征根重时，方程简化为 v″=0 ，给出线性 v(t) 。共轭复根（欠阻尼，例如 RLC 欠阻尼或低阻尼机械系统）：

通解形式： f(t)=eαt(Acos⁡(βt)+Bsin⁡(βt)) ，其中 α=−b2 （通常负，表示衰减）。物理意义： 系统振荡衰减（阻尼振荡）。实部 α 控制振幅衰减率，虚部 β 控制振荡频率。例如： RLC 欠阻尼响应：电流或电压振荡衰减（如无线电调谐电路）。机械系统：质量围绕平衡点振动并逐渐停止（如弹簧振子带小阻尼）。零阻尼特殊情况：若 b=0 ，则 α=0 ，解为 Acos⁡(βt)+Bsin⁡(βt) ，表示持续简谐振荡（如理想LC电路或无阻尼摆）。为什么通解是特解的线性组合？核心数学原因： 线性齐次微分方程的解空间是向量空间（齐次原理）。特征方程提供独立特解： 实根不同：两个指数特解线性无关。重根：一个指数特解加一个衍生解（通过降阶法）。复根：通过三角函数形式确保实值解。解的线性组合覆盖所有可能初始条件（如 f(0) 和 f′(0) )。此方法通用，适用于任何二阶常系数齐次线性微分方程。初始条件用于确定常数 A 和 B ，从而得到特解。

降阶法（Reduction of Order）推导过程详解降阶法是求解重根情况下第二个线性无关特解的核心方法。以下是完整推导（针对二阶常系数齐次微分方程的重根情形）：

问题设定

考虑方程：

d2f(t)dt2+bdf(t)dt+cf(t)=0特征方程 λ2+bλ+c=0 有重根 λ1=λ2=λ，其中：

λ=−b2,且b2−4ab=0.已知一个特解 f1(t)=eλt，目标是找到第二个线性无关的特解 f2(t).

降阶法步骤推导

假设第二个解的形式 设 f2(t)=v(t)⋅f1(t)=v(t)eλt，其中 v(t) 是待定函数（非常数）。

计算导数 • 一阶导数：

df2dt=v′eλt+v⋅λeλt=eλt(v′+λv)• 二阶导数：

d2f2dt2=eλt(v′+λv)′+λeλt(v′+λv)=eλt(v″+λv′+λ(v′+λv))简化得：

d2f2dt2=eλt(v″+2λv′+λ2v)代入原方程 将 f2、df2dt、d2f2dt2 代入原方程：

[eλt(v″+2λv′+λ2v)]+b[eλt(v′+λv)]+c[veλt]=0因 eλt≠0，两边除以 eλt：

v″+2λv′+λ2v+bv′+bλv+cv=0合并同类项：

v″+(2λ+b)v′+(λ2+bλ+c)v=0(∗)利用重根条件简化 • 关键1：因 λ 是特征根，满足 λ2+bλ+c=0，故：

λ2+bλ+c=0⇒系数项消失• 关键2：由重根性质 λ=−b2，代入系数：

2λ+b=2(−b2)+b=−b+b=0• 方程 (∗) 简化为：

v″+0⋅v′+0⋅v=0⇒v″(t)=0求解 v(t) • 对 v″(t)=0 积分两次：

v′(t)=C1,v(t)=C1t+C2其中 C1, C2 为常数。 • 第二个特解为：

f2(t)=v(t)eλt=(C1t+C2)eλt• 线性无关性验证：

◦ 当 C1=0, C2=1 时，得 f1(t)=eλt（第一个解）。

◦ 当 C1=1, C2=0 时，得 f2(t)=teλt（第二个解）。

两者线性无关（因 teλteλt=t 非常数）。

通解

f(t)=A⋅f1(t)+B⋅f2(t)=(A+Bt)eλt其中 A=C2, B=C1 为任意常数。

为何降阶法有效？

• 数学本质：通过引入函数 v(t)，将问题从求解二阶微分方程降阶为求解 v″(t)=0（一阶可解问题）。

• 物理对应：在重根情况下（如临界阻尼），系统响应需要额外项 teλt 描述"临界过冲"行为（如最短时间返回平衡点但无振荡）。

对比其他方法

• 参数变易法（Variation of Parameters）：用于非齐次方程，通过变易齐次解的常数求特解，不适用于此处的齐次方程求通解。

• 特征方程法推广：直接由特征根形式导出解的结构（复根时需欧拉公式转换），但无法解释重根下 teλt 的来源。

总结：降阶法是求解重根情形下线性无关特解的标准方法，依赖于特征根的性质和微分方程的线性结构。

二阶常系数非齐次微分方程求解步骤总结

二阶常系数非齐次线性微分方程求解范式方程形式：

d2f(t)dt2+bdf(t)dt+cf(t)=g(t)其中 b,c 是常数，g(t)≠0 是非齐次项（输入激励）。

求解步骤步骤1：求对应齐次方程的通解 fh(t)齐次方程：

d2f(t)dt2+bdf(t)dt+cf(t)=0特征方程：

λ2+bλ+c=0判别式：

Δ=b2−4c根据 Δ 分类求齐次通解fh(t)：

Δ>0（两不同实根）：λ1,2=−b±Δ2,fh(t)=Aeλ1t+Beλ2tΔ=0（两重根）：λ=−b2,fh(t)=(A+Bt)eλtΔ<0（共轭复根）：λ1,2=α±iβ,α=−b2, β=|Δ|2,fh(t)=eαt[C1cos⁡(βt)+C2sin⁡(βt)]步骤2：求非齐次方程的特解 fp(t)特解形式需根据 g(t) 的类型设定（原则：特解需独立于齐次解）：

类型1：g(t)=Pn(t)ekt（多项式×指数）设定规则：fp(t)=tsQn(t)ekt,{s=0（若 k 不是特征根）s=1（若 k 是单特征根）s=2（若 k 是重特征根）其中 Qn(t) 是与 Pn(t) 同次的待定多项式。s 的含义与取值规则s 的值数学条件特解形式示例物理意义s=0非齐次项的指数 k 不是特征根如 g(t)=eᵏᵗ·Pₘ(t) 时，设 yₚ(t)=Qₘ(t)eᵏᵗ激励频率与系统固有频率不同，无共振s=1k 是特征方程的单根如 g(t)=eᵏᵗ 时，设 yₚ(t)=A·t·eᵏᵗ激励频率等于固有频率，发生共振（振幅线性增长）s=2k 是特征方程的重根如 g(t)=eᵏᵗ 时，设 yₚ(t)=A·t²·eᵏᵗ强共振（振幅二次增长，系统响应剧烈）示例： g(t)=3t2e2t（k=2 非特征根）→ 设 fp(t)=(D0+D1t+D2t2)e2tg(t)=te−t（k=−1 是单特征根）→ 设 fp(t)=t(D0+D1t)e−t类型2：g(t)=ekt[Mcos⁡(ωt)+Nsin⁡(ωt)]设定规则：

fp(t)=tsekt[Ucos⁡(ωt)+Vsin⁡(ωt)],s={0（若 k+iω 不是特征根）1（若 k+iω 是特征根）示例：

g(t)=sin⁡(3t)（即 k=0,ω=3）→ 若 i3 非特征根，设 fp(t)=Ucos⁡(3t)+Vsin⁡(3t)g(t)=e2tcos⁡t → 若 2+i 是特征根，设 fp(t)=te2t(Ucos⁡t+Vsin⁡t)计算系数：将设定好的 fp(t) 代入非齐次方程，对比系数解出待定常数（如 Di,U,V)。

步骤3：写出非齐次方程的通解f(t)=fh(t)+fp(t)其中：

fh(t) 含任意常数 A,B（由初始条件确定），fp(t) 为不含任意常数的特解。解的物理意义（以振动或电路为例）齐次解 fh(t): 系统的 自由响应（固有行为），

过阻尼（实根）：能量单调衰减（如门缓慢关闭），临界阻尼（重根）：最快无振荡返回平衡（如汽车悬架临界调校），欠阻尼（复根）：振荡衰减（如弹簧振子带摩擦）。特解 fp(t): 系统的 强迫响应（由输入 g(t) 驱动），

体现系统对外部激励的稳态输出（如电路对交流电源的响应），形式取决于 g(t)（如常数输入→常数稳态；正弦输入→同频正弦振荡）。通解 f(t):

总响应=自由响应（瞬态）+强迫响应（稳态）例如 RLC 电路：

齐次解：电容/电感的固有放电（瞬态），特解：电源 g(t) 驱动的稳态电流/电压。